X
تبلیغات
حسابداری

حسابداری
امور مالی  
قالب وبلاگ

تعریف علم آمار:

به مجموعه روشهای علمی اطلاق می شود که به جمع آوری ، مرتب کردن ، طبقه بندی ، تجزیه و تحلیل و تفسیر داد ها می پردازد

Ø    علم آمار به دو شاخه توصیفی و استنباطی تقسیم می شود

Ø    آن قسمت از علم آمار که به توصیف مشاهدات می پردازد بدون آنکه استنباطی از آن بشود آمار توصیفی نامیده می شود

Ø    آن قسمت از علم آمار که به برآورد پارامتر های جامعه از روی نمونه می پردازد آمار استنباطی نامیده می شود

میانگین جامعه =             پارامتر جامعه =                  میانگین نمونه =

آماره =  ( برآوردی از جامعه )                      واریانس نمونه                     واریانس جامعه

جامعه آماری:

به مجموعه ای از افراد یا اشیاء که لااقل دارای یک یا چند صفت مشترک می باشند و قرار است تحت بررسی آماری قرار بگیرند ، در اصطلاح آماری ، جامعه آماری می گویند

در بررسی و مطالعه جوامع آماری با دو دسته صفت مواجه هستیم .

Ø    دسته ای از صفات هستند که برای تمام افراد جامعه ثابت و یکسان می باشند به این صفات ، صفات مشخصه گفته می شود

Ø    دسته ای دیگر صفاتی هستند که از یک فرد به فرد دیگر تغییر کرده و متفاوت هستند به این صفات ، صفات متغییر اطلاق می شود. و خود به دو دسته کیفی و کمی تقسیم می شود.

1- صفات کیفی: صفاتی هستند که قابل شمارش و یا اندازه گیری نمی باشند ولی می توان آنها را طبقه بندی نمود  مانند گروه خونی ، رنگ چشم ، شغل ، میزان محبوبیت و .....

2- صفات کمی: صفاتی هستند که قابل شمارش و یا اندازه گیری می باشند و خود به دو دسته ، گسسته  و پیوسته  تقسیم می شوند.

 صفات گسسته: صفاتی هستند که بین هر دو عدد متوالی آنها عدد دیگری وجود ندارد مانند اعداد تعداد خانوار

صفات پیوسته: صفاتی هستند که روی یک فاصله بسته تعریف شده باشند مانند معدل، قد و وزن و.

 نمونه گیری تصادفی : یکی از روشهای نمونه گیری است که در آن نمونه بر طبق قانون احتمالات و با یک شانس معلوم انتخاب می شود. بطوری که این نمونه تمام خصوصیات و ویژگی های جامعه را داشته باشد.

 داده های خام: به مقادیر عددی که در نتیجه آزمایش یا تحقیق و یا نمونه گیری بدست می آید در اصطلاح آماری داده های خام اطلاق می گردد.

+                                                     

مثال: اگر x مقادیر 9-7-5-3  را اختیار کند مطلوب است محاسبه    ؟

 = 3+5+7+9=24

ویژگی :

مثال: اگر x مقادیر 10+8+6+4+2 را اختیار کند مطلوب است محاسبه:

=3[2+4+6+8+10]+100=3[30]+100=90+100=190

حدول توزیع فراوانی داده های کیفی:

فراوانی       Fi           حالات       Ei

Fi

Ei

F1

F2

.

.

Fk

E1

E2

.

.

Ek

حجم نمونهN=

 

 

نمودارهای آماری دادهای کیفی:

·       سوزنی ( نقطه ای )

·       میله ای

·       ستونی

·       دایره ای

 

 

جدول توزیع فراوانی داده های کمی پیوسته:

•       داده ها را به صورت صعودی مرتب می کنیم.

•       دامنه را طبق فرمول زیر بدست می آوریم

R=xmax-xmin

•       تعداد طبقات را از طریق یکی از دو فرمول زیر محاسبه می نماییم.

K=1+3.322

K=

•       فاصله طبقات(طول دسته) را محاسبه می نماییم.

C=

توجه: چنانچه C و K اعدادی اعشاری شدند همیشه آنها را با تقریب اضافی به سمت عدد صحیح بزرگتر گرد می نماییم.

فراوانی مطلق(fi) : عبارت است از تعداد دفعات تکرار داده ها در هر طبقه

فراوانی نسبی(ri): عبارت است از خارج قسمت فراوانی هر طبقه به فراوانی کل

فراوانی کل = n = حجم نمونه = تعداد داده ها                                                 ri=

درصد فراوانی نسبی:عبارت است از فراونی نسبی هر طبقه ضرب در 100

ri 100

فراوانی تجمعی(تراکمی)(gi ):

عبارت است از مجموع فراوانی هر طبقه با طبقات بالاتر

فراوانی تجمعی نسبی(si):

عبارت است از مجموع فراوانی نسبی هر طبقه با طبقات بالاتر یا خارج قسمت فراوانی تجمعی هر طبقه بر فراوانی کل.

Si=

درصد فراوانی تجمعی نسبی:

Si

نماینده طبقات(xi):

Xi=

مثال:

اگر طول قد 30 دانش آموز سوم دبیرستان در یکی از دبیرستانهای الشتر برحسب cm بصورت زیر باشد داده ها را در 6 طبقه ، طبقه بندی کرده و جدول توزیع فراوانی آنرا کامل نمایید.

175

174

175

176

177

178

170

171

172

171

170

172

169

163

162

169

170

170

168

168

165

166

166

165

160

169

169

169

168

168

 

1- ابتدا داده ها را بصورت صعودی مرتب می نماییم.

168

168

168

166

166

165

165

163

162

160

170

170

170

170

169

169

169

169

169

168

178

177

176

175

175

174

172

172

171

171

 

2- دامنه را محاسبه می نماییم:

18=160-178R=

3- تعداد طبقات را داریم : یعنی                                 6K=

4- فاصله طبقات را محاسبه می نماییم.

C=

نماینده طبقات

Xi

د.ف.ت.ن

                 100×Si

ف.ت.ن

Si

ف.ت

gi

د.ف.ن

100×ri

ف . ن

ri

فراوانی مطلق

fi

 

حدود طبقات

 5/161

5/164

5/167

5/170

5/173

5/176

 

2

5

11

22

25

30

2

3

6

11

3

5

 163 -    160

166  -  163

169  -  166

172  -  169

175  -  172

178  -  175

 

 

 

 

 

1

30

20=n

 

نمودارهای آماری داده های کمی پیوسته:

1- هیستوگرام فراوانی یا بافت نگار مستطیلی

2- چند ضلعی ( چند بر) فراوانی

برای رسم نمودار هیستو گرام فراوانی دو محور عمود بر هم رسم می نماییم روی محور عمودی فراوانی ها و روی محور افقی حدود طبقات را نشان می دهیم . محل تلاقی حدود هر طبقه با فراوانی مربوطه اش را به وسیله مستطیل های به هم پیوسته ای که عرضشان متناسب با فاصله طبقات و طولشان متناسب با فراوانی مربوطه است نشان می دهیم . نمودار حاصله یک نمودار هیستوگرام فراوانی خواهد شد.

برای رسم نمودار چند ضلعی فراوانی دو محور عمود بر هم رسم می نماییم روی محور عمودی فراوانیها و روی محورافقی نماینده طبقات را نشان می دهیم . محل تلاقی نماینده هر طبقه با فراوانی مربوطه اش را به وسیله نقاطی مشخص می کنیم سپس دو نقطه ابتدایی و انتهایی متناسب با فاصله طبقات با فراوانی صفر به ترتیب قبل از نماینده طبقه اول و بعد از نماینده طبقه آخر اضافه می نماییم. در نهایت این نقاط را به هم وصل می کنیم. نمودار حاصل یک چند ضلعی فراوانی خواهد شد

مثال: برای داده های قبل نمودارهای آماری مربوطه را رسم نمایید.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شاخص های مرکزی:

ü  میانگین   

ü    میانه Md(M)

ü    مد Mo(m)

روش محاسبه میانگین:

                                                             برای داد های غیر طبقه بندی شده

                                                            برای داده های طبقه بندی شده

روش محاسبه میانه :

Md=L+

gi

فراوانی تجمعی طبقه قبل از طبقه میانه دار

L

کران پایین طبقه ی میانه دار

c

فاصله طبقات

fi

فراوانی طبقه ی میانه دار

 

روش محاسبه مد:

Mo=L+

D2

تفاضل فراوانی طبقه ی مد دار از طبقه مابعد

L

کران پایین طبقه ی مد دار

c

فاصله طبقات

D1

تفاضل فراوانی طبقه مد دار از طبقه ماقبل

 

 

 

 روش محاسبه میانه در داده های غیر طبقه بندی:

ابتدا داده ها را به صورت صعودی مرتب می کنیم سپس اگر تعداد داده ها یمان فرد بود میانه برابر با عدد وسطی خواهد بود و چنانچه تعداد داده های ما زوج بود میانه برابر با جمع دو عدد وسطی ، تقسیم بر دو خواهد بود.

توجه: مد در داده های غیر طبقه بندی آن حالتی است که بیشترین تکرار را داشته باشد

روش محاسبه میانه در داده های طبقه بندی شده :

ابتدا ستون مربوط به فراوانی تجمعی را تشکیل می دهیم سپس عدد K=     را با ستون فراوانی تجمعی مقایسه می نماییم اولین طبقه ای که فراوانی تجمعی آن بزرگتر یا مساوی K شد را بعنوان طبقه میانه دار محسوب می نماییم سپس میانه را طبق فرمول گفته شده محاسبه می نماییم.

توجه: طبقه مد دار ، طبقه ای است که فراوانی آن بیشترین باشد

مثال: شاخصهای مرکزی را برای داده های زیر محاسبه نمایید؟

2 -  9 -  8  -  5  -  3  -  4  -  3  -  4  -  7

=

Md= 2  -  3  -  3  -  4  – 4  -  5  -  7  -  8  -  9

 

                                                     Md=4

 

Mo=

مثال: شاخص های مرکزی را برای داده های زیر بدست آورید؟

8  -  10  -  10  -  5  -  5  -  3  -  7  -  2

=

                                                                                          

Md= 2 -  3  -  5  -  5  -  7  -  8  -  10  -  10

 

Md=

 

Mo= 5    ,      Mo= 10

مثال: مد را در داده های زیر محاسبه نمایید؟

9  -  8  -  9  -  5  -   5  -  3  -  2  -  4  -  4

9  -  9  -  8  -  5  -  5  -  4  -  4  -  3  -  2

Mo=

Mo=9

 

20  -  20  -  14  -  14  -  9  -  7  -  7  -  3  -  6  -  6

20  -   20  -  14  -  14  -  9  -  7  -  7  -  6  -  6  -  3

                                           Mo=                         Mo=

 

14   -   14   -  6  -  6  -  2  -  2  -  8  -  8

در مثال فوق چون در داده ها تعداد تکرار به یک اندازه است بنابراین مد وجود ندارد.

 

13  -  14  -  14  -  6  -  6  -  2  -  2   -  8  -  8

14  -  14  -  13   -  8  -  8  -  6  -  6  -  2  -  2

                                                               Mo= 14                        Mo=

10  -  10  -  10  -  8  -  8  -  5  -  5  -  3  -  3  -  2  -  2

Mo=10

مثال: برای داده های طبقه بندی شده زیر شاخص های مرکزی را محاسبه نمایید؟

gi

xi

fi

حدود طبقات

2

3

2

4-2

7

5

5

6-4

8

7

1

8-6

10

9

2

10-8

 

 

10=n

 

 

 

                                      طبقه میانه دار و مد دار                                                                  

 

 

                                                                                                                     3 = 2 – 5 = d1

                                                                                                                     4 = 1 – 5 = d2

] 6 × 2 + 7 × 1 + 5 × 5 + 3 × 2 [  =     =
6/5 =

K=

Md=1+

Mo=L+

مثال: برای داده های زیر شاخصهای مرکزی را محاسبه نمایید؟

gi

xi

fi

حدود طبقات

8

6

8

8-4

18

10

10

12-8

30

14

12

16-12

32

18

2

20-16

34

22

2

24-20

 

 

34=n

 

 

طبقه میانه دار

طبقه مد دار

 

 

                                                                                                             2 = 10 – 12 = d1

                                                                                                             10 = 2 – 12 = d2

] 22 2+18 × 2 + 14 × 12 + 10 × 10 + 6 × 8[  =     =

=

K=

Md=1+

Mo=L+

 

شاخص های پراکندگی :

1- دامنه (  R )

2- میانگین قدر مطلق انحرافات(D – A )

3- واریانس (S2 )

4- انحراف معیار(S )

5- انحراف چارکی (  )  =

برای داده های غیر طبقه بندی شده:

A-D=

برای داده های طبقه بندی شده:

A-D=

برای داده های غیر طبقه بندی:

                                                                               

برای داده های طبقه بندی شده :

  =

S=

 

مثال: برای داده های زیر شاخص های پراکندگی را محاسبه نمایید.

                                                                                    5 -  4  -  3  -  2  -  1

A-D=

=

S2=

=

                                                                                                                                

S=

تذکر: یک روش دیگر برای محاسبه واریانس :

Xi2

xi

1

1

4

2

9

3

16

4

25

5

Xi2=55

Xi=15

 

S2=

 

مثال: شاخص های پراکندگی را برای داده های زیر بدست آورید.

 

xi

fi

حدود طبقات

 

5

4

6-4

 

7

3

8-6

 

9

2

10-8

 

11

1

12-10

 

 

10=n

 

 

 

 

 

 

[11 1+9 2+7 3+5  4]   =

=

[ |7 – 11 |1+ | 7 – 9 |2 +| 7 – 7 |3 + |7- 5 | 4]   = AD

= [4+4+0+8]

=

S=

مثال: شاخص های پراکندگی را برای داده های زیر بدست آورید

 

xi

fi

حدود طبقات

 

6

3

8-4

 

10

4

12-8

 

14

2

16-12

 

18

3

20-16

 

 

12=n

 

 

 

 

ضریب چولگی پیرسن:

1- ضریب چولگی اول پیرسن:

                                                SK1=

منحنی توزیع متقارن (نرمال) است               SK1=0    اگر

منحنی توزیع چوله به راست است              SK1    اگر

منحنی توزیع چوله به چپ است                 0 SK1      اگر

 

2- ضریب چولگی دوم پیرسن:

                                          SK2=

منحنی توزیع تقریباً متقارن است                 

منحنی توزیع خیلی کج است                 

منحنی توزیع کج می باشد                 <   0/1

 


                                                                                                                      Md=Mo=

 

 

 


چوله به چپ                                         چوله به راست                                      متقارن ( نرمال)

 مثال : ضریب چولگی اول و دوم پیرسن را برای داده های زیر بدست آوریذ:

gi

xi

fi

حدود طبقات

2

1

2

2-0

7

3

5

4-2

8

5

1

6-4

10

7

2

8-6

 

 

10=n

 

 

 

 

 

 

                                                      طبقه مد دار و میانه دار

مثال: ضریب چولگی اول و دوم پیرسن را برای داده های زیر بدست آورید؟

gi

xi

fi

حدود طبقات

 

 

10

10-5

 

 

12

15-10

 

 

14

20-15

 

 

3

25-20

 

 

1

30-25

 

 

40=n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

چندکها:

1- چارکها

                                            75/0              5/0             25/0

                                            Q3                 Q2            Q1

2- دهکها:

                                              9/0  ..........2/0          1/0

                                             D9 ................D2           D1

3- چندکها:

                                        99/0 ...........02/0       01/0

                                    P99 ..............P2              P1

روش محاسبه صدکها در داده های غیر طبقه بندی :

ابتدا داده ها را به صورت صعودی مرتب می کنیم سپس عددp (1+n ) را محاسبه می نماییم . چنانچه حاصل برابر عدد صحیحی مانند K شد آنگاه xK یا Kام برابر با صدک مربوطه خواهد شد . چنانچه حاصل برابر با عدد اعشاری مانند r + K شد آنگاه صدک مربوطه را از رابطه زیر بدست می آوریم .

r = قسمت اعشاری       K = قسمت صحیح                                  rxk+1+xK (r -1)= صدک مربوطه

مثال : در داده های زیر مطلوب است:              17  -   13  -  14  -  16  -  12

الف) چارک های اول و دوم و سوم

ب)دهک ششم

ج)صدک 85

حل:                                      X1             X2         X3               X4         X5                     

                                            17           16         14         13          12

 

 

الف) 5/12    و 14     و 5/16                ب)2/15                ج)17

مثال: برای داده های زیر مطلوب است :               10  -  6  -  7  -  5  -  8  -  12

الف) چارکهای اول و دوم و سوم

ب) دهک سوم

ج) صدک 65

حل:                      X6           X1             X2         X3               X4         X5                     

                             12          10           8            7            6          5

 

 

 

الف)75/5     و    5/7   و     5/10      ب) 8/6              ج) 1/9

 

روش محاسبه صدکها در داده های طبقه بندی شده:

روش محاسبه کاملاً شبیه روش محاسبه میانه در داده های طبقه بندی شده است با این تفاوت که در محاسبه صدکها عدد np را با ستون فراوانی تجمعی مقایسه می نماییم و اولین طبقه ای که فراوانی تجمعی آن بزرگتر یا مساوی np شد را بعنوان طبقه صدک صد p ام دار محسوب می نماییم و صدک مربوطه را از طریق فرمول                                                 =L+  صدک مربوطه

L= کران پایین طبقه صدک دار                                                   

Fi= فراوانی طبقه صدک دار

gi-1 = فراوانی ماقبل طبقه صدک دار

C = فاصله طبقات

مثال: برای داده های زیر چارک اول ، دهک ششم ، صدک نودم را محاسبه نمایید.

Fi

حدود طبقات

2

10-6

6

14-10

3

18-14

1

22-18

12n=

جوابها: الف :66/10       ب: 4/13       ج: 7/17

Fi

حدود طبقات

3

10-5

6

15-10

8

20-15

2

25-20

1

30-25

مثال: برای داده های زیر مطلوب است :

الف) چارک های اول ، دوم وسوم  ب) دهک چهارم ج) صدک95

 

احتمالات:

بطورکلی اصطلاح احتمال مربوط به وقوع پیشامد های تصادفی است یا به عبارتی احتمالات عبارت است از بررسی آزمون های تصادفی

فضای نمونه:

مجموعه ی تمام نتایج ممکن در یک آزمایش آماری را فضای نمونه می نامیم و آنرا با حرف S نشان         می دهیم.

پیشامد:

هر زیر مجموعه از نتایج ممکن یک آزمایش آماری را یک پیشامد می نامیم . یا به عبارتی پیشامد زیر مجموعه ای از فضای نمونه است.

4 = 22                 n2= سکه                        n6 = تاس           H = شیر    T = خط

مثال : سکه ای را 2 مرتبه ( دو سکه را باهم) پرتاب می کنیم فضای نمونه و چند پیشامد آنرا بنویسید.

S={HH,HT,TH,TT}

e1={HH}             e2={TT}            e3={HT,TH}                 e4={HH,TT}

مثال: تاسی را یک بار پرتاب می کنیم فضای نمونه و چند پیشامد آنرا بنویسید.

}6 و 5 و 4 و 3 و 2 و1 } = S

}6 } = e4     }4 و 3 و 2 و1 } = e3     }6 و 4 و 2 } =e2       }5 و 3 و 1 } = e1

آزمایش:

هر روشی که امکان جمع آوری داده ها را بدهد یک آزمایش نامیده می شود.

 

آزمایش تصادفی:

آزمایشی است که نتیجه آن از قبل بطور قطع و یقین مشخص نباشد.

قوانین دمورگان:

 

نموداروِ ن :

S = مرجع

                                             B                         A

 

اصول شمارش:

اصل جمع (اصل یا) : فرض کنید انجام عمل L منوط به انجام A به m طریق و B به n طریق باشد آنگاه این عمل به m+n طریق انجام می پذیرد (A و B به طور همزمان نمی توانند انجام بگیرند)

اصل ضرب( اصل و) : فرض کنید عملی مستلزم k مرحله باشد به طوری که مرحله ی اول به n1 طریق، مرحله ی دوم به n2 طریق و ...... و مرحله ی k ام به nk طریق صورت گیرند آنگاه این  k عمل با هم به nk × .... n2 ×  n1 طریق می توانند صورت گیرند.

مثال: فرض کنید دانشجویی برای رفتن از دانشگاه به منزل با اتوبوس به 3 طریق ، با تاکسی به 4 طریق بتواند از دانشگاه به منزل برود این دانشجو به چند طریق می تواند به منزل برود؟( اصل جمع)

7 = 4 + 3  = m+n                   3= m    4= n

 مثال: فرض کنید دانشجویی دارای 4 پیراهن ، 3 شلوار و 4 جفت کفش باشد این دانشجو به چند طریق مختلف می تواند پیراهن ، شلوار و کفش بپوشد؟ ( اصل ضرب)

4 = 1 n           3 = 2 n           4 = 3 n

48=4×3×4=3 n ×2 1 n          

مثال: به چند طریق می توان از میان 6 دانشجوی حسابداری و 4 دانشجوی مدیریت 2 نفر را انتخاب نمود به طوری که نفر اول مسول و نفر دوم دستیار باشند.

الف) هر دو نفر از یک رشته باشند.                    

                           30=5×6                  مسول از حسابداری= 6       دستیار از حسابداری = 5

    42=12+30

                           12=3×4                 مسول از مدیریت=4           دستیار از مدیریت=3

ب) هر دو نفر از یک رشته نباشند.

                               24=4×6                مسول از حسابداری=6         دستیار از مدیریت=4

48=24+24

                               24=6×4              مسول از مدیریت=4            دستیار از حسابداری=6

مثال: با ارقام 2، 3، 5 ، 7 ، 9 چند عدد سه رقمی می توان نوشت بطوری که :

الف) تکرار ارقام جایز باشد.

            2، 3، 5 ، 7 ، 9                                      2، 3، 5 ، 7 ، 9                          2، 3، 5 ، 7 ، 9

                  یکان                                                      دهگان                             صدگان

125=5×5×5

ب) تکرار ارقام جایز نباشد.

                    2، 7 ، 9                                                    2، 3، 7 ، 9                               2، 3، 5 ، 7 ، 9

           یکان                                                        دهگان                             صدگان

60=3×4×5

مثال: با اعداد 9 ،7 ، 6 ، 5 ، 4 ،3 ، 0 ، 2 چند عدد چهار رقمی می توان نوشت بطوری که :

الف) تکرر ارقام جایز باشد.

3584= 8×8×8×7

ب) تکرار ارقام جایز نباشد.

1470= 5×6×7×7

تمرین : با فرض آنکه یکبار تکرار ارقام جایز باشد و یکبار جایز نباشد با ارقام 9،8 ،7، 6، 5، 4، 3، 2، 1

الف) چند عدد چهار رقمی می توان نوشت

 

ب) چند عدد چهار رقمی زوج می توان نوشت

 

ج) چند عدد چهار رقمی فرد می توان نوشت

 

د) چند عدد چهار رقمی مضرب 5 می توان نوشت ( یکان آن 5 یا 0 باشد)

 

ه) چند عدد چهار رقمی کوچکتر از 5000 می توان نوشت

 

و) چند عدد چهار رقمی بزرگتر  از 7000 می توان نوشت

 

جواب تمرین :

                                                    1- تکرار جایز باشد                                                                                  6561= 9 × 9 ×9 ×9                                             

الف) چند عدد چهار رقمی

                                                     2- تکرار جایز نباشد                                                                                    3024= 6 ×7 × 8 ×9

                                                            1- تکرار جایز باشد                                                                                2916= 4 ×9 × 9 × 9

ب) چند عدد چهار رقمی زوج

                                                            2- تکرار جایز نباشد                                                                              1344=4 ×8 ×7 ×6

                                                          1- تکرار جایز باشد                                                                                     3645=5 ×9 ×9 ×9

ج) چند عدد چهار رقمی فرد

                                                          2- تکرار جایز نباشد                                                                                1680=5 ×8 ×7 ×6

                                                                 1- تکرار جایز باشد                                                                                729= 1 ×9 ×9 ×9

د) چند عدد چهر رقمی مضرب 5

                                                                  2- تکرار جایز نباشد                                                                           366= 1 ×8 ×7 ×6

                                                                              1- تکرار جایز باشد                                                                2916= 9 ×9 ×9 ×4

و) چند عدد چهار رقمی کوچکتر از 5000

                                                                               2- تکرار جایز نباشد                                                          1344=6 ×7 ×8 ×4

                                                                               1- تکرار جایز باشد                                                               2187=9 ×9 ×9 ×3

ه) چند عدد چهار رقمی بزرگتر  از 7000

                                                                             2- تکرار جایز نباشد                                                            1008 = 6 ×7 ×8 ×3

 

قوانین شمارش :

1- تبدیل:         

1×............... (3- n ) (2- n ) (1- n ) n =  =Pn

فاکتوریل=               1=                     1×2×3×4×5×6×=  6

2- ترکیب: چون در ترکیب نحوه چیدمان و انتخاب برای ما مهم نیست پس.

r       =  یا (r وn)C

3- ترتیب: چون در ترتیب نحوه چیدمان و انتخاب برای ما مهم می باشد پس:

                n r  = (r و n)P

مثال: به چند طریق می توان 5 دانشجو را در یک صف کنار هم قرار داد؟(تبدیل)

120=1×2×3×4×5= 5

مثال: از میان 5 دانشجوی پسر و 3 دانشجوی دختر چند تیم 3 نفره می توان تشکیل داد؟(ترکیب)

5= پسر     3= دختر      n            8= 3 + 5           r                      تیم 3 نفره

 

56 =  =  =   =

مثال: از میان 10 دانشجوی برتر یک دانشگاه به چند طریق می توان چهار نفر را برای اعطای جوائز اول، دوم ،سوم و چهارم انتخاب نمود؟( ترتیب)

5040= 7×8×9×10 =  =  =              (4 و 10 ) P          10= n    4= r

یادآوری:(روابط زیر همیشه برقرارند)

مثال: 4 نفر از 7 نفر یک کارگاه مرد هستند به چند طریق می توان 3 نفر را از بین این کارگران انتخاب نمود بطوریکه :

الف) حداکثر یک نفر از آنها زن باشد.

ب) حداقل یک نفر از آنها زن باشد

7 n=       4= مرد            3 = زن         r  =  تیم 3 نفره انتخاب شود

                                                  

حل الف)

22= 18+4=(6×3)+(4×1)

حل ب)

(1×1)+(4×3)+(6×3)=

31= 1 + 12 + 18=

مثال : از 10 دستگاه رایانه موجود در یک فروشگاه 3 رایانه معیوب می باشند ، به چند طریق می توانیم چهار رایانه را انتخاب کنیم بطوریکه :

10  رایانه   n=         3= معیوب           7 = سالم       r = تعداد 4 رایانه  انتخاب شود

الف)حداکثر 2 رایانه معیوب باشد.( حداکثر یعنی 2 و کمتر از آن)

(21×3)+(35×3)+(35×1)=

203= 63  + 105  +  35  =

ب) حداقل 2 رایانه معیوب باشد(حداقل یعنی 2 و بالاتر از آن)

(7 ×1)+ (21 ×3) =

70= 7 + 63 =

تعریف:

مجموع وزن تمام نقاط موجود در پیشامد A را احتمال پیشامد A می نامیم و آنرا با نماد P(A) نشان             می دهیم.                                             1  P(A)  0

پیشامدهای ناسازگار:

پیشامدهای E1 تا En دو به دو ناسازگار گوییم اگر وقوع همزمانی هر دو پیشامد غیر ممکن باشد یا به عبارتی:                                           n   j  i  1

Ei Ej=                  و          0=(Ei Ej ) P

احتمال کلاسیک:

اگر دو گروه کامل پیشامدهای ناسازگار ،پیشامدهای همتراز یا هم شانس باشند آنگاه احتمال پیشامدی مانند A عبارت است از:

                                                               = P(A)            

تعداد حالات مساعد= (A)n                              تعداد حالات ممکن = (S)n

توجه :

در تعریف فوق 3 شرط زیر می بایست برقرار باشند

الف) وقوع یکی از پیشامدها حتمی باشد

ب) پیشامد ها ناسازگار باشند

ج) پیشامدها هم تراز یا هم شانس باشند

اصول موضوعه احتمالات:

1- اگر   متمم پیشامد باشد آنگاه :      P(A) – 1 =( P)

2-        0 =(  P                       1= P(S)                          1  P(A)  0

3- اگر A و B دو پیشامد ناسازگار باشند آنگاه P(A)  + P(A)  = P(A B)

تعمیم 3 : اگر A1 ...................An ، n  پیشامد ناسازگار باشند آنگاه :

قضایای احتمالات:  

1- اگر (B )P  (A )P               B  A

2- اگر (B  A )P – (A)P=(B-A)P

3- اگر A و B دو پیشامد دلخواه باشند آنگاه :

(B  A)P – (B)P+(A)P=(B  A)P

4- تفاضل تقارن:

(A-B)P  (B-A)= (B  A )P

(B  A)P - (B  A)P = (B  A )P

 

مثال: از ظرفی که محتوی 10 توپ با شماره های 3 تا 12 باشد توپی را به طور تصادف انتخاب می کنیم مطلوب است محاسبه احتمال اینکه شماره توپ بر 3 یا 4 بخش پذیر باشد .

یادآوری :

هم ، هر دو ، و ، با = اشتراک

حداقل ، لااقل ، یا = اجتماع

فقط= تفاضل تقارن

حل:

10= (s)n       12، 11 ، 10 ، 9 ، 8 ، 7 ، 6 ، 5 ، 4 ، 3 } = s  فضای نمونه

 =   =P(A)  4 = (A ) n    12،  9 ، 6 ، 3 } =A شماره توپ های که بر 3 بخش پذیر میباشند       

 =   =P(B)    3 = (B ) n    12،  8 ، 4 } =B شماره توپ های که بر 4 بخش پذیر میباشند       

  = ( B  A)P           1 = ( B  A)n            12 }  = B  A

  ( B  A)P – (B)P+ (A)P = (B  P(A

   =   -    +  =

مثال: سکه ای را 6 مرتبه پرتاب می کنیم احتمال آن را بیابید که:

الف) حداقل یک شیر ظاهر شود                     

ب) دقیقاً یک شیر ظاهر شود

                64 = 26                        6 = n                     n 2                  T= خط          H= شیر           

 

 

اطلاعات مسئله:

64=(s)n       { TTTTTT ............HHHHHH }= S

(6 = x )P +(5 = x )P +(4 = x )P +(3 = x )P +(2 = x )P +(1 = x )P =(1  x )P

حل الف)

    = (A)P                       (TTTTTT)A = هیچ شیری نیاید

  -1 =( )P                        : حداقل یک شیر

حل ب)

(TTTTTHوTTTTHTوTTTHTTوTTHTTTوTHTTTTوHTTTTT)P

   =(1= x)P

مثال : احتمال قبولی دانشجویی در درس آمار 7/0 ، احتمال قبولی در درس ریاضی 6/0 و احتمال قبولی در هر دو درس برای این دانشجو 5/0 می باشد:

الف)احتمال آن را بیابید که دانشجو لااقل در یکی از دروس قبول شود

ب) فقط در یکی دروس قبول شود

اطلاعات مسئله:

احتمال قبولی در درس آمار7/0=(A)P

احتمال قبولی در درس ریاضی 6/0 =(B)P

احتمال قبولی در هر دو درس 5/0 = (B  A)P

 

حل الف):

(B  A)P-(B)P+(A)P=(B  A)P

8/0 = 5/0 – (6/0 + 7/0 )=

حل ب)

(A –B)P  (B –A)P =(B  A)P

(B  A)- ( B  A)P=

3/0=5/0 – 8/0 =

مثال: از 15 لامپ که 5 تای آنها معیوب است 3 لامپ را به طور تصادف انتخاب می کنیم احتمال آنرا بیابیدکه :

الف) هیچ کدام معیوب نباشند

ب) فقط یکی از آنها معیوب باشد

ج) دو تای آنها معیوب باشند

د) هر سه تای آنها معیوب باشند

اطلاعات مسئله:   15= لامپ سالم  5 = لامپ معیوب   10 = لامپ سالم     3= انتخاب

455=  = = (S)n

حل الف):

حل ب):

=

حل ج):

حل د):                                                                                                                                         

P(D)=

مثال: 2 تاس را پرتاب می کنیم ، احتمال آن را بیابیدکه مجموع خالهای رو شده روی 2 تاس کمتر از 5 باشد.

36 = 2 6             2= n                 n6

{6 و 5 و 4 و 3 و 2 و 1 = y وx |(y و x)} = S

36             n(S)={(6 و 6) ........(2 و 2 )(1 و 2)(6 و 1)(5 و1)(4 و1)(3 و1)(2 و1)(1 و1)} = S

6=(A)n       {(1 و 3)(2 و2)(1 و2)(3 و 1)(2 و 1)(1 و 1)}=A

 

 

 

احتمال شرطی:                  

 

                       از طرفین و وسطین فرمول بالا نتیجه می شود

                     از طرفین و وسطین فرمول بالا نتیجه می شود

مثال: 2 تاس را پرتاب می کنیم در صورتی که بدانیم مجموع خالهای رو شده روی هر2 تاس عدد 8 را نشان داده احتمال آن را بیابید که یکی از تاسها عدد 2 را نشان دهد.

{6 و 5 و 4 و 3 و 2 و 1 = y وx |(y و x)} = S

36             n(S)={(6 و 6) ........(2 و 2 )(1 و 2)(6 و 1)(5 و1)(4 و1)(3 و1)(2 و1)(1 و1)} = S

      {(4 و4)(3 و5)(5 و3)(2 و6)(6 و2)}= A  مجموع خالهای رو شده که عدد 8 را نشان داده

{(6و2)(5و2)(4و2)(3و2)(1و2)(2و6)(2و5)(2و4)(2و3)(2و2)(2و1)}= B یکی از تاسها عدد 2 را نشان دهد

                   {(2و6)(6و2)} = B  A

 

 

مثال: دو تاس را پرتاب می کنیم در صورتی که بدانیم یکی از تاسها عدد 2 را نشان داده احتمال آن را بیابید که یکی از تاسها عدد 5 را نشان دهد.

{6 و 5 و 4 و 3 و 2 و 1 = y وx |(y و x)} = S

{(6و3)(5و3)(4و3)(2و3)(1و3)(3و6)(3و5)(3و4)(3و3)(3و2)(3و1)}=Aیکی از تاسها عدد 3 را نشان داده

{(6و5)(4و5)(3و5)(2و5)(1و5)(5و6)(5و5)(5و4)(5و3)(5و2)(5و1)}=Bیکی از تاسها عدد 5را نشان داده

     {(3و5)(5و4)} = B  A

 

مثال : از جعبه ای که محتوی 6 مهره قرمز ، 4 مهره آبی و 2 مهره سبز است مهره ای را به طور تصادف انتخاب              می کنیم احتمال آن را بیابید که :

الف) اگر این مهره قرمز نباشد آبی باشد.

ب) اگر این مهره آبی نباشد سبز باشد

     : احتمال اینکه مهره قرمز باشد

   : احتمال این که مهر آبی باشد

    : احتمال این که مهره سبز باشد

حل الف)

حل ب)

مثال: یک سازمان تحقیقاتی رابطه بین دو صفت اعتیاد به سیگار و جنسیت در یک جامعه را مورد بررسی قرار داده است و جدول زیر بدست آمده است.

جنسیت

زن

مرد

اعتیاد

36%

9%

27%

دارد

64%

30%

34%

ندارد

 

39%

61%

 

با توجه به جدول بالا به سوالات زیر پاسخ دهید.

الف) اگر فردی از این جامعه به تصادف انتخاب شود احتمال اینکه فرد معتاد به سیگار باشد چقدر است

ب) اگر فرد انتخاب شده مرد باشد احتمال اینکه  فرد معتاد به سیگار باشد چقدر است

پیشامد این که فرد انتخاب شده معتاد باشد : B       پیشامد اینکه فرد انتخاب شده مرد باشد: A

حل الف)

36% = 9% + 27%   = (B )P

 

 

حل ب)

قضیه: اگر وقوع همزمانی دو پیشامد A و B امکان پذیر باشد آنگاه:

تعمیم قضیه:اگر وقوع همزمان n پیشامد A1  ............ An امکانپذیر باشد آنگاه :

تعریف: دو پیشامد A وB متقل اند اگر:

                   چون :                             و        

تعریف: سه پیشامد A و B و C مستقل اند اگر روابط زیر برقرار باشد:

 

 

مثال: از جعبه ای که محتوی 6 مهرهقرمز و 4 مهره آبی است ، 2 مهره را بطور تصادف و بدون جایگزینی انتخاب می کنیم مطلوب است محاسبه احتمال آنکه :

الف)هر دومهره قرمز باشند   ب) هم رنگ نباشند     ج) هم رنگ باشند       د) هردو آبی باشند

اطلاعات مسئله:

حل از طریق قضیه:

                                                  (الف

                                                                                                        (ب

حل از طریق روش ترکیب:

الف)                                                   

ب)                                                        

ج)                                                     

د)                                                                    

روش درختی :

 

 

مثال: از جعبه ای که محتوی 5 مهره سفید و 2 مهره سیاه است مهره ای را بطور تصادف انتخاب می کنیم بدون آنکه رنگ آن را مشاهده کنیم ، آن را کنار می گذاریم سپس مهره دیگری را استخراج می کنیم مطلوب است احتمال اینکه این مهره سفید باشد.

A = مهره اول سفید باشد                B= مهره اول سیاه باشد                C= مهره دوم سفید باشد

حل از طریق یک روش ساده تر:

(مهره دوم سفید× مهره اول سیاه) P  +  ( مهره دوم سفید × مهره اول سفید ) p

حل از طریق روش ترکیب:

حل از طریق روش درختی :

 

مثال: از یک جعبه مداد رنگی 12 تای که از هر رنگ فقط یک عدد وجود دارد 3 مداد را بطور تصادف و بدون جایگزاری انتخاب می کنیم مطلوب است محاسبه احتمال اینکه اولی قرمز ، دومی آبی و سومی سبز باشد.

(A )P : مداد اول قرمز باشد    (B)P:مداد دوم آبی باشد       (C)P: مداد سوم سبز باشد

 

مثال: یک ایستگاه آتش نش)ان دارای دو ماشین آتش نشان است که در صورت نیاز با احتمال 9/. در محل حادثه حضور دارند احتمال آنرا بیابید که در صورت بروز حادثه لااقل یکی از دو ماشین در محل حضور داشته باشد.

(A)P= 9/0 = احتمال حضور ماشین اول                    (B)P= 9/0 = احتمال حضور ماشین دوم

99/0 = 81/0 -8/1 =

قضیه احتمال کل: اگر { H1…………Hn } یک افرازی از فضای نمونه و A پیشامد دلخواهی باشد آنگاه :                                                 

قضیه بیز: اگر { H1…………Hn } یک افرازی از فضای نمونه و   آنگاه برای هر n....و1=j :

مثال: فرض کنید فروشگاهی سه نوع لامپ روشنایی مشابه را از سه کارخانه خریداری و برای فروش عرضه می کند بطوری که 70% نیاز توسط کارخانه اول 20 % توسط کارخانه دوم و 10% توسط کارخانه سوم تأمین می شود. می دانیم 5% محصولات کارخانه اول ، 3% محصولات کارخانه دوم و 2% محصولات کارخانه سوم معیوب می باشند ، لامپی را بطور تصادف انتخاب می کنیم مطلوب است محاسبه احتمال اینکه:

الف) لامپ معیوب باشد

ب) لامپ معیوب با چه احتمالی مربوط به هریک از سه کارخانه فوق می باشد.

حل الف)

Hi = لامپ توسط کارخانه i ام که 3 و 2 و 1 = i تولید شده باشد.

A= معیوب بودن لامپ

حل ب)

 

 

 

مثال: فرض کنید 60% دانشجویان یک دانشکده در رشته حسابداری ، 30% در رشته مدیریت و 10% در رشته ادبیات مشغول به تحصیل می باشند می دانیم 40% دانشجویان رشته حسابداری ،50% دانشجویان رشته مدیریت و 70% دانشجویان رشته ادبیات دختر می باشند . دانشجویی را بطور تصادف انتخاب می کنیم مطلوب است محاسبه احتمال آنکه:

الف) این دانشجو دختر باشد

ب) دانشجوی انتخابی دختر با چه احتمالی مربوط به هریک از سه رشته فوق می باشد.

اطلاعات مسئله:

Hi = دانشجو مربوط به هر یک از رشته ها باشد.

A= دانشجو دختر باشد

حل الف)

حل ب)

مثال: احتمال اینکه مردی تا 20 سال دیگر زنده باشد 6/0 است و همین احتمال برای همسرش 9/0 است مطلوب است محاسبه اینکه :

الف) هیچ کدام از آنها تا 20 سال دیگر زهدنه نباشند

ب) فقط همسر تا 20 سال دیگر زنده باشد

ج) فقط یکی از آنها زنده باشد.

اطلاعات مسئله:

6/0 = (A )P = احتمال زنده بودن مرد تا 20 سال دیگر

9/0 = (B)P = احتمال زنده بودن زن تا 20 سال دیگر

4/0 = ( )P = احتمال زنده نبودن مرد

1/0 = ( )P = احتمال زنده نبودن زن

حل الف):

به دلیل استقلال                                       

 

04/0 = 1/0 × 4/0 =

حل ب):

36/0 = 4/0 × 9/0 =

حل ج):

96/0 = 54/0-5/1 =  (9/0 × 6/0 ) – 9/0 + 6/0 =

54/0= 9/0×6/0=

 

42/0 = 54/0 – 96/0 =

تذکر : ذکر کلمه فقط یعنی تفاضل تقارن

مثال: گمان می رود که آلودگی ناشی از یک کارخانه شیمیایی مانع رشد درختان در جنگل نزدیک به آن می باشد با توجه به تحقیقات قبلی احساس می شود که احتمال وجود آلودگی 60% است و همین طور معلوم شده است که اگر محیط آلوده باشد 80% احتمال دارد که درخت رشد نکند و اگر محیط آلوده نباشد 20%احتمال دارد که درختان رشد نکنند حال اگر عدم رشد درخت گزارش شود احتمال آنکه آلودگی وجود داشته باشد چقدر است.

مثال:جدول زیر تعداد قطعات سالم ومعیوب تولید شده توسط دو کارخانه را نشان می دهد اگر یک قطعه را به طور تصادف انتخاب کنیم  و این قطعه سالم باشد احتمال اینکه از کارخانه اول باشد را بیابید.

کارخانه دوم

کارخانه اول

 

5

15

معیوب

35

45

سالم

 

[ چهارشنبه سیزدهم اردیبهشت 1391 ] [ 11:20 ] [ مصطفی زینی اصلانی ] [ ]
.: Weblog Themes By Iran Skin :.

درباره وبلاگ

امکانات وب